Ciencias

Nueva prueba geométrica del teorema de Fermat

Nueva prueba geométrica del teorema de Fermat

El año pasado (2016), en el interesante artículo de Ingeniería titulado “¿Revolución en el teorema de Pitágoras?”, El Dr. Luis Teia presentó la prueba del teorema de Pitágoras en 3D. Este año, explica Teia en su reciente artículo revisado por pares (febrero de 2017), titulado Teorema de Fermat: una vista geométrica publicado en el Journal of Mathematics Research, cómo esta comprensión 3D del teorema de Pitágoras proporcionó la base geométrica para probar el último teorema de Fermat. El último teorema de Fermat, también conocido como la conjetura de Fermat, es más que simples triples, se trata de la naturaleza fundamental de un número entero y su significado matemático y geométrico. Plantea la pregunta filosófica: ¿Qué es una unidad? En el lenguaje de las matemáticas, una unidad se define por el número 1. En el lenguaje de la geometría, una unidad se define por un elemento de lado uno. La perspectiva de un problema depende del lenguaje que usemos para observarlo, y un cambio de perspectiva es a menudo todo lo que se necesita para ver la solución.

¿Qué es el teorema de Fermat?

El último teorema de Fermat cuestiona no solo qué es un triple, sino más importante aún, qué es un número entero en el contexto de ecuaciones del tipo Xnorte + Ynorte = Znorte. La siguiente imagen muestra de forma pictórica la diferencia entre el teorema de Pitágoras y el último teorema de Fermat. Estos dos a veces se confunden. El último teorema de Fermat es una conjetura matemática sobre números enteros, mientras que el teorema de Pitágoras 3D es una prueba matemática y geométrica sobre números reales. El teorema de Pitágoras en 1D es el principio de suma (es decir, X + Y = Z). En él, todos los enteros forman triples [por ejemplo, 1 + 2 = 3 forma el triple 1D (1,2,3) mientras que 3 + 4 = 7 formas (3,4,7)]. En el medio está el conocido teorema de Pitágoras en 2D, donde solo algunos enteros forman triples [por ejemplo, 32+42=52 forma los triples 2D (3,4,5)]. El último teorema de Fermat establece que no se pueden encontrar triples para el teorema de Pitágoras en 3D, o para cualquier dimensión superior.

El teorema de Pitágoras en 1D, 2D y 3D, y el último teorema de Fermat [Fuente de la imagen:Teia]

El teorema de Pitágoras 3D

El teorema de Pitágoras en 1D se rige por líneas, mientras que en 2D por cuadrados (ver imagen a continuación). Al igual que los cuadrados aparecen de forma natural al transformar el teorema de Pitágoras de 1D a 2D, los octaedros también aparecen de forma natural al transformar el teorema de Pitágoras de 2D a 3D. Como lo muestra el Dr. Teia (en su libro publicado en 2015), el teorema de Pitágoras 3D se rige por octaedros. Por lo tanto, cualquier número (real o entero) dentro del teorema de Pitágoras se puede expresar geométricamente mediante una línea en 1D, un cuadrado en 2D y un octaedro en 3D. ¿Cómo afecta esta noción geométrica a nuestra comprensión de los números enteros y, lo que es más importante, de los triples?

Teorema de Pitágoras 1D, 2D y 3D [Fuente de la imagen:]

Hipótesis

La hipótesis de esta nueva prueba es que solo existe un triple, si todos los elementos enteros dentro de ese triple también existen [por ejemplo, 1, 2, 3 para el triple 1D (1,2,3), y 3, 4, 5 para el 2D triple (3, 4, 5)]. A su vez, un elemento entero solo existe si obedece dos condiciones: satisface el teorema de Pitágoras de la dimensión respectiva (Condición 1) y se puede dividir completamente con éxito en múltiples escalares unitarios (Condición 2). Por lo tanto, se puede plantear la hipótesis de que los elementos enteros no existen si no se cumple la Condición 1 o 2. En consecuencia, si el número entero no existe, los triples asociados tampoco existen.

El entero geométrico

Los enteros son múltiplos claros de una unidad. La línea unitaria, o línea de longitud 1, es el escalar geométrico fundamental que compone todos los elementos enteros en el universo 1D de Pitágoras. Asimismo, el cuadrado unitario, o cuadrado del lado 1, es el escalar geométrico fundamental que compone todos los elementos enteros en el universo 2D de Pitágoras. Por lo general, se puede concluir que para que exista un elemento entero, debe dividirse completamente en múltiplos del escalar unitario fundamental particular de esa dimensión (es decir, línea unitaria en 1D o cuadrado unitario en 2D). En 3D, a pesar de que los octaedros validan el Teorema de Pitágoras 3D (que satisface la Condición 1), un octaedro con un número entero lateral N no es un múltiplo de octaedros unitarios, ya que los tetraedros aparecen en el medio (consulte la figura siguiente a la derecha) [no satisface la Condición 2] . Por tanto, los enteros geométricos no existen en el dominio 3D del teorema de Pitágoras, ni tampoco sus triples. Esto satisface el teorema de Fermat para tres dimensiones.

La definición geométrica de números enteros en 1D, 2D y no en 3D [Fuente de la imagen:]

Dimensiones superiores

La interdependencia geométrica entre números enteros en 1D y 2D sugiere que todos los números enteros de dimensiones superiores se construyen y, por tanto, dependen de los números enteros de dimensiones inferiores (por ejemplo, los cuadrados se construyen con líneas). Esta interdependencia, junto con la ausencia de números enteros en 3D, sugiere que no hay un número entero por encima de n> 2 y, por lo tanto, tampoco hay triples que satisfagan Xnorte + Ynorte = Znorte para n> 2.

Conclusión

La solución geométrica al acertijo de Fermat no proviene de la noción de triples, sino de la noción de enteros. Si los números enteros no existen, tampoco los triples. Lamentablemente, la elusividad centenaria de la prueba resulta del uso repetitivo de las "herramientas" disponibles, en lugar de inventar nuevas herramientas (el teorema de Pitágoras en 3D) para encontrar la solución. La simplicidad de esta demostración geométrica (fundada en la ausencia de números enteros dentro del dominio del teorema de Pitágoras para dimensiones superiores a 2D) hace que nos preguntemos si esta no es la famosa "solución elegante" de la que hablaba Fermat, de la que no dejó ninguna otra. registros excepto una nota escrita que diga:

"He descubierto una prueba verdaderamente notable de este teorema, que este margen es demasiado pequeño para contener".

--Pierre de Fermat (1665)

En cuanto al Dr. Luis Teia, su próximo desafío será explicar el significado geométrico de la fórmula en particiones del matemático Srinivasa Ramanujan.

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Ver el vídeo: Pequeno Teorema de Fermat ITA (Octubre 2020).